ここでは、「公倍数（こうばいすう）」と「公約数（こうやくすう）」を説明するよ。

「倍数」ってなぁに？

「倍数」って漢字が並んでて、難しそうだね。
でも、難しそうに見えるだけだから、楽しく考えよう。

はじめに、「倍数」について考えよう。
「倍数」ってなんだろう？

生活している中で、

とかって言わない？

この元の量を「２倍」や「４倍」した量が「倍数」なんだ。
別の言い方をすると、ある数を２倍、３倍、４倍・・・と倍にした数の集まりが倍数なんだ。

もとの数が「２」とすると、
２，４，６，８，１０，・・・・ なんだ。

もとの数が「３」とすると、倍数は、
３，６，９，１２，１５，・・・・ なんだ。

あっ、倍数の一番小さな数は、もとの数と同じだね。
倍数は「もとの数」が分かると、ほかの数が計算できるから、「もとの数」がとても大事なんだ。
そこで、「もとの数」が２のときの倍数を「２の倍数」、もとの数が４のときの倍数を「４の倍数」っていうように、もとの数が●●のときは「●●の倍数」っていうんだ。

次の問題を考えてみよう。

さあ、考えよう。

一番小さな７の倍数は、もとの数と同じだから、７だよね。
次に小さな数は、７の２倍だから、１４。
その次に小さな数は、７の３倍だから、２１。
この順番で考えると、答えは、
だね。

次の問題を考えてみよう。

さあ、考えよう。

倍数はどんどん数が大きくなるけど、質問には「６０より小さい数」って書いているよ。
７の倍数で６０より小さくて、一番大きな数はなんだろう？
・・・そうだ！　７の倍数を書いてみよう。
このなかで、６０より小さいのは、
だね。
だから、答えは、
だね。

・・・答えは合っているけど、もし問題文が、
だったらどうしよう？
７，１４，２１・・・と書いていくのは大変だよ。それになんといっても、カッコいい考え方じゃないよね。

どうしよう・・・。
そうだね、７の倍数っていうことは、７で割り切れるってことだよね。
６０を７で割ると、
だよね。
図で書くと、こんな感じかな。



７が８つあるよね。７×８は７の倍数だよね。
だから、７の倍数で、６０より小さい一番大きな数は、７×８だね。これを計算すると、
だね。だから、答えは、
だね。


さあ、これで、
をカッコよく計算できるね。

を計算すると、
だね。
だから、７の倍数で、１００より小さい一番大きな数は、７×１４だね。
これを計算すると、
だね。だから答えは、
だね。

公倍数・最小公倍数

さっきは「倍数」を考えたね。
ここでは、「公倍数（こうばいすう）」と「最小（さいしょう）公倍数」を考えよう。


「公」の意味は「全体」っていうだけあって、「公倍数」は２つ以上の数のときに計算できるんだ。
２つ以上の「もとの数」の、それぞれの倍数の中から、同じ倍数だけを集めたものが「公倍数」なんだ。

言葉ではわかりにくいから、次の問題を見てみよう。
さあ、考えよう。

はじめに、２の倍数と、３の倍数を考えてみよう。

２と３の公倍数は、２の倍数にも、３の倍数にも含まれる倍数だから、２の倍数と、３の倍数を比べて、同じ倍数を考えてみよう。
だね。だから、答えは、
だね。
これをみて気が付いたかな？
公倍数は、６の倍数になっているね。
公倍数は、一番小さな公倍数の倍数になっているんだ。
一番小さな公倍数を、最小（さいしょう）公倍数っていうんだ。

公倍数の中で、一番小さな公倍数を、最小（さいしょう）公倍数というんだ。
最小公倍数は、「分数」の計算でも使うから、マスターしておこう。

では、次の問題を考えよう。
２と３の公倍数は、６，１２，１８，・・・だから、最小公倍数は６だね。
だから答えは、
だね。
公倍数が分かっていると、最小公倍数は簡単に分かるね。

次は「公倍数」をカッコよく計算する方法を考えよう。
その前に、「公倍数」によく似ている、「公約数」について考えよう。

「約数」ってなぁに？

「約数」って漢字が並んでて、難しそうだね。
でも、難しそうに見えるだけだから、楽しく考えよう。

「約数」って普段使わない言葉だね。
「約数」は、ある数を割った時に、割り切れる数の集まりのことなんだ。

言葉ではわかりにくいから、次の問題を見てみよう。

さあ、考えよう。
１２をその数で割ると、割り切れる数が約数なんだ。
なにで割り切れるか、１から順番に考えよう。
余りが無い数が、割り切れる数だから、約数だね。
１２より大きい数は、かけ算しても１２にはならないから、１２より大きい約数は無いよね。
だから、答えは、
だね。

公約数・最大公約数

さっきは「約数」を考えたね。
ここでは、「公約数（こうやくすう）」と「最大（さいだい）公約数」を考えよう。


「公」の意味は「全体」っていうだけあって、「公約数」は２つ以上の数のときに計算できるんだ。
２つ以上の「もとの数」の、それぞれの約数の中から、同じ約数だけを集めたものが「公約数」なんだ。

言葉ではわかりにくいから、次の問題を見てみよう。
さあ、考えよう。

はじめに、１２の約数と、１５の約数を考えてみよう。

１２と１５の公約数は、１２の約数にも、１５の約数にも含まれる約数だから、１２の約数と、１５の約数を比べて、同じ約数を考えてみよう。
だね。だから、答えは、
だね。

公約数の中で、一番大きな公約数を、最大（さいだい）公約数というんだ。
最大公約数は、「分数」の計算でも使うから、マスターしておこう。

では、次の問題を考えよう。
１２と１５の公約数は、１，３だから、最大公約数は３だね。
だから答えは、
だね。
公約数が分かっていると、最大公約数は簡単に分かるね。


では、「公約数」はどうやって計算すればいいんだろう？
次は「公約数」をカッコよく計算する方法を考えよう。

「素数（そすう）」「素因数分解（そいんすうぶんかい）」ってなに？

公倍数と公約数の考え方は分かったけど、カッコよく計算する方法はないのかな？
「２と３の公倍数」を見つけるために、「２の倍数」と「３の倍数」をたくさん書いて探すのは大変だよね。
「１２と１５の公約数」を見つけるために、「１２の約数と１５の約数」を全部書いて探すのは大変だよね。

そのためには、素因数分解（そいんすうぶんかい）を使うと便利なんだ。
カッコいい計算のやり方だから、覚えよう。

素因数分解を説明する前に、次の問題を考えてみよう。

さあ、考えよう。

１から順番に約数を考えてみよう。

になるね。この中で、約数が「１」と「もとの数」だけなのは、１，２，３，５，７だよね。だから、答えは、
だね。

実は、今答えた、

は、「素数」っていうんだ。
「素数」は、約数が「１」と「もとの数」だけの数なんだ。
「素数」は、約数が「１」と「もとの数」だけだから、他の数を使って割り切れないんだ。

次の問題を考えてみよう。

さあ、考えよう。

６を素数のかけ算にするのだから、６が何で割り切れるかを考えればいいよね。
割り切れる数は、約数だよね。

だね。これを使って、６をかけ算に書き換えると、
だよね。どの式がいいんだろう？

１）と４）は、もとの数字の６がまだあるから、６を書き換えていないよね。。。

２）と３）は、使っている数字が２と３で同じだね。かけ算は、数字の順番を入れ替えても答えは同じだったよね。
だから、２）と３）は答えが同じになるから、どちらを書いてもいいんだ。

ここからは、２）の式を使って考えよう。
２は素数かな？　素数だよね。
３は素数かな？　素数だよね。
だから、答えは、
だね。

実は今、６を素因数分解したんだよ。
もとの数を、素数だけのかけ算にすることを「素因数分解」というんだ。
もとの数を、素数で書き換えるのって、カッコいいよね。
素因数分解の仕方を覚えよう。

次の問題を考えてみよう。

さあ、考えよう。

２４の約数は、１，２，３，４，６，８，１２，２４だよね。
いろんな数で割り切れるね。素数じゃない数も含まれているね。
２４を簡単に素数のかけ算に書き換えられないかな？

素因数分解は、もとの数を素数だけのかけ算に書き換えるんだよね。
だから、もとの数を、素数でわり算して、もとの数に含まれている素数を計算しよう。

はじめに、もとの数の２４を、素数の２で割ろう。

だね。だから、
だね。１２は素数の２で割れるよね。
だね。だから、
だね。６は素数の２で割れるよね。
だね。だから、
だね。３は素数でこれ以上割れないよね。だから、答えは、
だね。

さて、２４を素因数分解するときに、何回もわり算をしたよね。
２４を２でわり算するとき、ひっ算は、

って書くよね。
でも、これだと、次に１２を２でわり算するときに、別にひっ算を書かないといけないから、分かりにくいよね。

実は、素因数分解がしやすいひっ算の書き方があるんだ。
それは、２４を２でわり算するときは、

って書くんだ。
わり算の答えの１２は、２４の下に書くんだ。
わり算のひっ算と同じように、十の桁と、一の桁は縦にならぶように書くんだ。

次に１２を２で割り算するよ。このときは、
って書くんだ。
次に６を２で割り算するよ。このときは、
って書くんだ。
ここで、左の数字と、一番下の数字をかけ算してみよう。
下のオレンジ色の数字だよ。
２×２×２×３になるよね。
これは、２４の素因数分解した式なんだ。
だから、２４を素因数分解した式は、
だね。

最小公倍数を計算する

次の問題を考えてみよう。

さあ、考えよう。

はじめに、４の倍数を考えてみよう。
４を素因数分解のひっ算をすると、
になるから、４＝２×２だ。
４の倍数を、２×２を使って書くと、
だね。
これからわかるように、４の倍数は、必ず２が二つあるんだ。
それはそうだよね。
だって、４＝２×２、だから、２が二つあるよね。
でも、これはとても大事なことなんだ。

つぎに、６の倍数を考えてみよう。
６を素因数分解のひっ算をすると、
になるから、６＝２×３だ。
６の倍数を、２×３（または３×２）を使って書くと、
だね。
これからわかるように、６の倍数は、必ず２が一つと、３が一つあるんだ。
それはそうだよね。
だって、６＝２×３、だから、２が一つと、３が一つあるよね。
でも、これはとても大事なことなんだ。

さて、４と６の最小公倍数は、４の倍数であり、６の倍数だから、
よね。
これを考えると、４と６の最小公倍数は、
になるよね。なぜなら、４の倍数になるための、２×２があるし、
６の倍数になるための、２×３がある
ね。
この式を計算すると、
になって、最小公倍数が計算できたよ。

つぎの問題を考えよう。

さあ、考えよう。

８を素因数分解すると、
だよね。
だから、８の倍数は２が三つあるんだ。

１２を素因数分解すると、
だよね。
だから、１２の倍数は２が二つと、３が一つあるんだ。

８と１２の最小公倍数は、
の両方を持っているから、
になるね。
こうすると、８の倍数の２×２×２があるし、
１２の倍数の２×２×３があるし、
があるよね。
これを計算すると、
だね。だから答えは、
だね。

最大公約数を計算する

（工事中。ちょっと待ってね。）